巨大的数

古抒情诗人品达（Pindar）在他的第二首《奥林匹亚颂歌》（Olympian Odes）里写道：“沙粒无法计数。”他所表达的概念在后来的希腊人中广为流传，所以希腊人都会用“沙百”（sand hundred）来指代大到难以想象的数字。

在品达之后近两个世纪，品达对沙粒的描述都保持着无可辩驳的地位，作为一句诗歌，这当然是件好事。然而到了公元前3世纪，数学家阿基米德却对这句话提出了有力的反驳，这番反驳正可谓是阿基米德最杰出的成就之一。

阿基米德曾向国王献上他的学术著作，在这部著作里，阿基米德提出了前所未有的大胆论点。

“国王陛下，有些人相信沙粒的数目是无限的。我所说的不仅仅是锡拉库萨或是西西里其余土地上的沙粒，还包括世上所有有人居住抑或是无人居住的土地上的沙粒。有些人认为沙粒的数量或许不是无限的，但由于其具体数量确实过于庞大，以至于无法计数……因此，我将运用几何证明法向您阐明，我们命名的有些数字，其计数范围要远远大于世上沙粒的总和。”

阿基米德计算出的地球、月球和太阳的尺寸都非常大。例如，他所算出的地球周长是前代天文学家算出的10倍不止。同样，阿基米德在计算沙粒数量时也保留了极大的误差空间。他假设，一万粒沙加起来和一粒罂粟籽一样大，然后他十分耐心地将罂粟籽首尾相连排列在一柄直尺上。通过这种办法，阿基米德认为1英寸（约2.54厘米）为25粒罂粟籽的长度。随后他又将这个数字进行了更改，称1英寸为40粒罂粟籽的长度，这样才能“无可争议地论证之前的假设”。通过这种方式，阿基米德算出1平方英寸（约6.45平方厘米）最多能放1600万粒沙（10000×40×40）。

阿基米德认为宇宙是球形的。他通过计算地球绕太阳公转轨道的直径估算出了宇宙的直径。根据他的计算，宇宙的直径不超过10¹⁴“斯塔德”（stadia）⁽⁹⁾（约2光年）。所以，10⁶³粒沙足以填满整个宇宙。

后来，阿基米德声称希腊计数单位“米瑞德”（myriad，10⁴）足以计量世间数目最大的事物。他指出，“米瑞德倍米瑞德”能够计量高达一亿的数额。在阿基米德的时代，这是已被命名的最大数。但阿基米德仍在努力，他认为如果能够数到“米瑞德”，那么同样也能数到“米瑞德倍米瑞德”，所以如果用“米瑞德倍米瑞德”与它自身数量相乘，就能得到“米瑞德倍米瑞德倍米瑞德倍米瑞德”，也就是10¹⁶。如果把这个新的数字也当作计量单位的话，那么如同“米瑞德”或“米瑞德倍米瑞德”一样，这个“米瑞德倍米瑞德倍米瑞德倍米瑞德”也可以与它自身相乘，得到“米瑞德倍米瑞德倍米瑞德倍米瑞德倍米瑞德倍米瑞德倍米瑞德倍米瑞德”，也就是10³²。

现在我们已用“米瑞德”与它自身相乘了8次。阿基米德接下来的步骤则尽显逻辑的淳朴之美：用“米瑞德倍米瑞德”与它自身相乘，然后相乘“米瑞德倍米瑞德”次，最后所得结果中，1后面跟有8×10⁸个零。

阿基米德继续沿用这一逻辑，将这个新数字与它自身相乘，然后相乘“米瑞德倍米瑞德”次，最后所得结果中，1后面跟有8×10¹⁶个零。

阿基米德态度谦虚但信心十足地公布了他的研究。

“国王陛下，对于从未接触过数学的大多数人来说，这些理论确实很难让人理解。但只要实证充分，对于对数学有所接触，并且对地球与太阳、月亮及整个宇宙的距离以及各自大小有过深入思考的人来说，这些理论都是可以理解的。所以，我认为您也一定能够轻松理解这些理论。”

印度的一些典籍里也有关于沙粒与无限极之间的比较，其中大部分内容在阿基米德时代都已有所记载。在《普曜经》（Lalitavistara）中，我曾读过少年悉达多与伟大的数学家阿朱那（Arjuna）会面的故事。阿朱那让悉达多算出一“俱胝”（koti，相当于1000万）的100倍。悉达多毫不犹豫地回答说，100“俱胝”等于一“阿育塔”（ayuta，相当于10亿）。若继续将这个数字乘以100，再乘以100，直到连续相乘23次之后，就能得到一“塔拉克沙那”（tallaksana，10⁵³）。

不论悉达多用的是100还是其他数字，他都一直不停地将这个数字与一“俱胝”相乘。这个故事中有个地方不得不让人想起阿基米德。悉达多称，用这个新得到的数字，数学家能够将恒河里的所有沙粒“作为计数对象数出它们的数量”。悉达多一直不停地将这个数字与一“俱胝”相乘，直到得到数字“萨凡尼塞帕”（sarvaniksepa），悉达多告诉数学家，这个数字足以数尽10条恒河里的沙粒。如果这还不够的话，悉达多说道，可以继续之前的乘法，直至得到“阿拉撒拉”（agrasara），这个数字比10亿条恒河里的沙粒数量还要大。

据说，这个极为巨大的数，代表了极致的纯粹和智慧。根据史料记载，只有修行到极致才能够数到如此大的数。在故事结尾，数学家阿朱那如此承认道：

吾无此极致智慧，其在吾之上。

其有大智慧于数，定无人可及。

悉达多本名为乔达摩·悉达多（Gautama Siddhartha），其天资过人的故事，早在他还在宫廷时便广为流传。传言，尼泊尔国王自悉达多出世起便决定将其与世隔绝。把悉达多自小禁锢于金碧辉煌的宫廷中，就能使其永远免受苦难、衰老、贫穷和死亡的折磨。我们能够想象悉达多受限的皇室生活：锦衣玉食、文学武功、歌舞升平。他耳朵上挂的珠宝沉重到令他的耳垂下垂。但显然悉达多的生活并没有什么自由可言：目之所及只有宫墙和穹顶，珠翠叮当和丝竹乐音取代了鸟鸣，美味珍馐的甜腻盖过了雨后自然的清新。

30年飞逝而过，悉达多也早已成家，还有了自己的儿子，他逐渐听说了宫墙之外的种种，因此决定亲自去看看。悉达多探访乡间村落，随行的只有一名车夫。悉达多第一次看到有人因病痛、年老和贫穷而孱弱不堪，他甚至还看到了一具尸体。这些景象让他大为震惊。于是，悉达多结束了自己的富贵生活，开始了苦修的生涯。

王子在皇宫与世隔离地生活，尽管这听起来就像神话故事般不可思议，但也有其独特而发人深省的魅力。从悉达多对宫外世界的反应来看，很可能他在生命的前30年对算学是一无所知的。

看到街上如织的行人，他会怎样想呢？在那天之前，他可能都不相信世上竟有这么多人。而天空中飞过的群鸟，目之所及的山峦树木、如茵绿草，对他而言又将是怎样一番奇景。悉达多第一次意识到，他的生命离大千世界竟如此之近。

后来，悉达多的追随者将悉达多的开悟与他广博的数学知识联系在一起。也许就如同悉达多乘车出游所见的万事万物会令他感到惊奇一样，大千世界也让悉达多领悟到了多样性的魅力，正是这段经历让他走上了追寻涅槃的道路。

这让我想起了另一个故事。这个故事的主角不是王侯贵族，而是一位数学家。同悉达多的父王不同，这个人喜欢研究大数，也喜欢同自己9岁的侄子讨论这些数字。那是20世纪中叶的某一天，美国数学家爱德华·卡斯纳（Edward Kasner）让侄子给一个有100个零的数字命名。“古戈尔（googol）⁽¹⁰⁾。”这个小男孩想了一会儿答道。

卡斯纳在他的《数学与想象力》（Mathematics and the Imagination）一书中，并未解释“古戈尔”的来源，也许这个词只是小男孩凭空想象出来的。根据语言学家的解释，讲英语的人通常会将以g开头的词汇与“广大”等概念联系在一起，因为以g开头的很多词都确有其意，如great（伟大的）、grand（宏伟的）、gross（总的）、gargantuan（巨大的）、grow（增大）或是gain（增多）等等。此外，无论是“oo”的发音还是字母l的结尾，都会令人产生模糊和持续的感觉。这两点可以分别体现在英语单词put（放）和pull（拉）中。put的结尾为字母t，体现出行为动作的完成；不过当人们需要pull（拉）东西的时候，通常还是需要多一些时间的。

在这个充满数字的世界中，没有哪个现存的实体正好和“古戈尔”数量相等。“古戈尔”的数量级远远超过全世界的沙粒总数。即使我们把世上已出版的书中的每个词的每个字母相加，其总数也离“古戈尔”很遥远。在我们所知的宇宙空间里，所有基本粒子的总数离“古戈尔”也还差10²⁰。

小男孩肯定不可能数遍每一粒沙，或是读尽每一本书，但和阿基米德或是悉达多一样，他明白宇宙不足以包含所有的数量。他知道，通过数字，他可以想象所有以往的、现有的甚至未来的，以及空想、幻想甚至梦想中的全部事物。

小男孩的数学家叔叔很欣赏侄子创造的词。于是卡斯纳鼓励侄子说出更大的数字，小男孩皱着眉头陷入深思。于是第二个词诞生了，它是第一个词的变体，叫作“古戈尔派勒斯（googolplex）”。这个词的英语后缀-plex对应英语中表倍数的后缀-fold，如tenfold（10倍的）、hundredfold（100倍的）。小男孩将这个词定义为“包含让人手写到断为止的所有零”。但他的叔叔对此表示不太同意。卡斯纳认为，写字的耐力因人而异。最后，他们商定“古戈尔派勒斯”的定义为：一个1后面跟有“古戈尔”数量的零的数字。

让我们先停下来思考一下这个数字的大小。这个数字可不是“古戈尔倍的古戈尔”，“古戈尔倍的古戈尔”只是1后面跟有200个0而已。“古戈尔派勒斯”后面却跟有远大于一千、一“米瑞德”甚至8×10¹⁶的零，它大到甚至连勤奋固执的阿基米德都数不到这个数。这个数字的零多到我们可能永远都写不完。

“古戈尔派勒斯”这个数字之大，以至于它几乎能够包含所有的可能性。物理学家理查德·克兰多尔（Richard Crandall）做了一个比喻，一瓶啤酒因为基本的量子波动而自己翻倒的可能性，比“古戈尔派勒斯”分之一都要大得多。英国数学家约翰·利特伍德（John Littlewood）给出了更进一步的说明，他让我们想象一只身处外太空的老鼠，其身处的环境突然发生随机变动，使得老鼠能够在太阳表面生存整整一星期，利特伍德认为，这种可能性大约能够符合“古戈尔派勒斯”分之一。

当然“古戈尔派勒斯”也还不是无穷之数。我们也许也能像小男孩那样，为这个数字加上1。现代电子计算机不会受到没完没了的零的影响，因此能够计算出“古戈尔派勒斯”+1的答案，这个答案并不是质数，其最小一个因数为3169-12650057057350374175801344000001。

数学家卡斯纳是如何看待小男孩想象出的最大数字“古戈尔派勒斯”的呢？卡斯纳并没有给出解释，但他也许告诉了侄子，世上还有很多比“古戈尔派勒斯”还要大的数值。比如“古戈尔阶乘”，这是一个将1和“古戈尔”之间的所有整数相乘所得的数字（1×2×3×……950345×……1000000000000008761×……古戈尔）。这个数字如果用电脑来算的话，其开头为16294……。这个数字之大，足以超过我们在这篇文章中提到的其他所有数字。

10000

在宇宙这个十分有限的空间里，这些巨大无比的数字似乎没什么用武之处。有时它们甚至会显得有些过于冗长、不成比例。这些略微夸张的数字就像个笑话，谁知道它们是不是有意想引起人们的注意。

一些典籍使用“劫”来指代一段极长的时间，一劫过后宇宙毁灭并重新开始。在增劫之中，人的寿命最多能高达八万四千岁。而根据《心经》记载，在其他境界，寿命可为八万四千劫，也就是八万四千个历元，每一个历元都漫长无比，后面跟着无穷个零。与这样的寿命相比，“古戈尔”或是“古戈尔阶乘”的数值听起来真是既真实又简便。

数学家也许很渴望这种超然物外的境界。那些超出我们理解范围的大数，虽丰富了数学家的工作，但也带来了悖论。比如，10和27，如果让它们分别与自身相乘“古戈尔派勒斯”那么多次，得出的结果哪个更大？显然是后者更大，但即使是能够显示100个数位的计算器，也很难算出它俩的差别。这使我们大失所望，因为我们本能地认为即便无法得知数字的精确数值，数字排序也应该是直截了当的。但其实，有的数字确实大到我们分不清它们本身与它们的2倍、3倍、4倍或其他任意倍数之间的区别。有些数量级巨大无比，远超我们语言所能形容的范围，也远超我们的计数体系。

和大数有关的最有名的悖论同样来自古希腊。传说故事的主人公是哲学家欧布里德（Eubulides）。据说欧布里德的灵感源自他的同伴、怀疑论者芝诺（Zeno）。芝诺认为每一粒麦粒落下的声音都和一蒲式耳（35.238升）的麦粒落下的声音成比例。不过欧布里德的论述里没有提到麦粒，和一个世纪后的阿基米德一样，欧布里德是通过沙粒来论证的。

其逻辑大致是这样的：我们都知道一粒沙不算什么，那么再加上一粒也不算多，即使再加上一粒也远达不到构成一堆的程度。所以由此推知，在小数字上加1只能让一个小数字变成另一个小数字。如果是这样的话，一亿也可以被视作小数字，“古戈尔派勒斯”也一样。

对这项推导持谨慎态度的读者，也许会提出那些能称得上是大数字的，比如一堆沙，肯定是越过了一个临界点，比如10000。但这个说法并不足以解释以上关于小数字的悖论。因为人们没法说明为什么9999被认定为小数字，9999加1就成了大数。

当然，至少总体来说所有数字都可以被说成是小数字。如果将任何数字用n表示，那么比它小的数字就只有n-1个而已，但比它大的数字却有无数个。

罗马诗人贺拉斯（Horace）是奥古斯都时代最著名的抒情诗人，他曾在诗中提及被人遗忘的数学家阿契塔（Archytas），并叙述了一个最为有名的悖论：寿命有限的人类穷尽一生都在试图衡量无穷。

你欲丈量海洋大地和无尽沙粒，

阿契塔啊，如今却被困于

马蒂尼海岸的寸土一方，若是如此

你丈量天空、测算仙宫穹顶

又有何意义——毕竟你肉体凡胎，终有一死？