直线方程的方向向量怎么算（直线方程:方向向量和法向量的表示）

在高中解析集合中,经常碰到的就是直线,而直线方程一般化的表达方式为:

Ax+By+C=0 ......(1)

y=-A/Bx-C/B.....(2) (将1整理后得到熟悉的方程)

这个方程在理解上有如下几点:

1.斜率=-A/B

2 X轴截距:=-C/A, y轴截距=-C/B

问题:

(1)这条直线的方向如何用向量表示?

(2)垂直于这条直线的的直线方向如何用向量表示?

推导过程:

1. 先了解如何表达: 平面p1,p2两点向量的方向以及单位方向

已知在二维平面上XOY坐标系当中, 任意一点p1(x1,y1),p2(x2,y2),如果于表示向量P1P2的方向, 分如下两步进行:

计算两点在x轴和y轴上的坐标差：

Δx=x2-x1

Δy=y2-y1

方向向量是从P1指向P2的向量m,其分量为坐标差：

m=(Δx,Δy)

这个方向向量表示了从点AB到点B的方向。

如果Δx和Δy都是正数，那么方向向量指向右上方；

如果Δx是负数而Δy是正数，那么方向向量指向左上方；

如果Δx和Δy都是负数，那么方向向量指向左下方；如果Δx是正数而Δy是负数，那么方向向量指向右下方。

请注意，方向向量的大小（长度）并不影响方向，它只表示两点之间的相对位置。如果我们想要得到单位方向向量（即长度为1的向量），我们可以将方向向量除以其长度：

(u为p1p2单位方向向量)

而直线方程 Ax+By+C=0 的斜率是 :

y2-y1/x2-x1=-A/B=Δy/Δx

假若p1,p2两点在直线上,根据方向向量的定义,代入m=(Δx,Δy),我们可以得到直线

即:m(-B, A),向量m可以代表直线的的方向.

2. 那么接下来可以看垂直于该直线的法向量的表示:根据法向量的定义,法向量是垂直于这条直线的向量,设为N(Nx,Ny),则应该满足条件

N.m=0

我们将各自的分向向量代入得到:

Nx*(-B)+Ny*(A)=0

令Nx=A,则 Ny=B,于是我们找到了一条垂直于直线方向的向量方向,即

N(A,B) 这个法向量确实垂直于直线上所有的向量，因为任何直线上向量的点积都与法向量为零。

二: 总结归纳:

1.知道直线方程的方向向量 可以用于今后的简便计算

2.知道了直线方程的法向量,就可以轻松应对更多的关于垂直交叉的问题,而不用参与复杂的计算.

4.两个向量垂直,则N.M=0 (向量内积计算规则: , 对应的分向量相乘)