奇函数的定义和公式（高中必修知识函数的奇偶性）

函数的奇偶性是函数的一个重要性质，指的是一个函数自身的对称性，奇偶性是高中数学的一个高频考点，考题形式多为选择题或填空题。

一、奇、偶函数的定义

注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性.

知识点解析

1.判断函数的奇偶性要“二看”

(1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意x∈A,-x∈A,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

如f(x)=x2,x∈R是偶函数,但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数,也不是偶函数.

(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:

①f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数;

②f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数;

③f(-x)≠±f(x)⇔f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;

④f(-x)=±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类,即f(x)=0,x∈D,且D关于原点对称.

2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性

设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:

二、函数奇偶性与单调性的关系

1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.

2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数.

知识点解析

1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性.

2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这就是单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征.

判断函数奇偶性

1.根据奇偶性可将函数分为奇函数,偶函数,既是奇函数也是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数.

2.判断函数奇偶性的两种方法

(1)定义法:

(2)图象法:

函数奇偶性与单调性的综合应用

比较函数值的大小

应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.

解函数不等式

解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先将f(a)+f(b)<0变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.

由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.

利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题

1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活变形,找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性.

2.有时需要在整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.

比如:利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数.