平行四边形的特性和特征（二次函数中平行四边形的存在性问题解析）

二次函数的图象

二次函数解析式的三种形式

1、一般式：y = ax2 + bx + c （ a , b , c 为常数，a ≠ 0 ）；

2、顶点式：y = a（ x - h ）2 + k （ a , b , c 为常数，a ≠ 0 ）；

3、两点式：y = a（ x - x1 ）（ x - x2 ）（ a ≠ 0 ）.

平行四边形的判定方法及性质

平行四边形

1、平行四边形的判定方法 

定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 

定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 

定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .

2、平行四边形的性质

性质 1：平行四边形的邻角互补，对角相等； 

性质 2：平行四边形的对边平行且相等；

性质 3：平行四边形的对角线互相平分.

二次函数中平行四边形的存在性问题

二次函数中平行四边形的存在性问题

学习目标：

1、会用分类思想讨论平行四边形的存在问题；

2、会用数形结合的思想解决综合性问题.

重点：分类讨论平行四边形的存在性；

难点：数形结合思想及画图.

一、知识回顾（储备）

1、线段的中点坐标公式

线段的中点坐标公式

在平面直角坐标系中，有任意两点 A、B，若点 A 坐标为 (x1，y1)，点 B 坐标为 (x2，y2)，

则线段 AB 的中点 P 的坐标为 (（ x1 + x2 ）/ 2 , （ x1 + x2 ）/ 2 ) .

2、知识拓展与应用：

思考：在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，

已知其中 3 个顶点的坐标，如何确定第 4 个顶点的坐标 ？

引例：如图，已知 □ABCD 中 A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，则点 D 的坐标是 (4，4) .

利用中点公式分析： ( x1 + x3 ）/ 2 = ( x2 + x4 ）/ 2 , ( y1 + y3 ）/ 2 = ( y2 + y4 ）/ 2 .

结果化简可以化为 “ 对点法 ” 的形式 : x1 + x3 = x2 + x4 , y1 + y3 = y2 + y4 .

二、对点法（ 数学方法 ）

如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，

则这 4 个顶点坐标之间的关系是什么？

结论：x1 + x3 = x2 + x4 ，y1 + y3 = y2 + y4 .

平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等．

三、典例学习（ 三定一动 ）

【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知 A (-1，0)，B (1，-2)， C (3，1)，点 D 是平面内一动点，

若以点 A 、B 、 C、 D 为顶点的四边形是平行四边形，则点 D 的坐标是 ______.

分析：设点 D（x，y），

① 点 A 与点 B 相对：

-1 + 1 = 3 + x，0 - 2 = 1 + y；x = -3，y= -3 ，此时 D2（-3，-3）；

② 点 A 与点 C 相对：

-1 + 3 = 1 + x，0 + 1 = -2 + y；x = 1，y = 3，此时 D1（1，3）；

③ 点 A 与点 D 相对：

-1 + x = 1 + 3，0 + y = -2 + 1；x = 5，y = -1，此时 D3（5，-1）；

综上所述：点 D 的坐标是 (-3,-3)，(1,3)， (5,-1) .

说明：（ 细节 ）

若题中四边形 ABCD 是平行四边形，则点 D（1，3），与四个点为顶点的四边形是平行四边形不同.

四、问题解决

【例题2】已知，抛物线 y = - x2 + x +2 与 x 轴的交点为 A、B，与 y 轴的交点为 C，点 M 是平面内一动点，若以点 M、A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形，请写出点 M 的坐标．

解析：（ 三定一动 ）

先求出 A( -1,0 )，B ( 2,0 )，C( 0,2 )，设点 M（x，y），

① 点 A 与点 B 相对：M3（1，-2）；

② 点 A 与点 C 相对：M2（-3，2）；

③ 点 A 与点 M 相对：M1（3，2）；

综上所述：点 M 的坐标是 M1（3，2），M2（-3，2），M3（1，-2）.

【例题3】如图，平面直角坐标中，y = - 0.25x2 + x 与 x 轴相交于点 B (4，0)，点 Q 在抛物线的对称轴上，点 P 在抛物线上，且以点 O、B、Q、D 为顶点的四边形是平行四边形，写出相应的点 P 的坐标 .

解析：（ 两定两动其中一点为半动点 ）

已知 B (4，0)，O（0，0），设 Q ( 2, a )，P ( m, -0.25m2 + m ).

① 点 B 与点 O 相对：m = 2，a = -1；P1（2，1）；

② 点 B 与点 Q 相对：m = 6，a = -3；P2（6，-3）；

③ 点 B 与点 P 相对：m = -2，a = -3；P3（-2，-3）；

综上所述：P1（2，1），P2（6，-3），P3（-2，-3）.

【例题4】如图，平面直角坐标中，y = 0.5x2 + x - 4 与 y 轴相交于点 B (0，-4)，点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y = - x 上的动点，判断有几个位置能使以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，写出相应的点 Q 的坐标.

解析：（ 两定两动 ）

已知 B (0，-4)，O（0，0），设 P ( m, 0.5m2 + m - 4 )，Q ( a, -a ).

① 点 B 与点 O 相对：a1 = 4 , a2 = 0 （ 舍 ）；

② 点 B 与点 P 相对：a = -2 ± 2√5 ;

③ 点 B 与点 Q 相对：a1 = - 4 , a2 = 0 （ 舍 ）；

综上所述：

Q1（ -2 + 2√5 ，2 - 2√5 ），Q2（-2 - 2√5 ，2 + 2√5 ），Q3（-4，4）, Q4（ 4，-4 ）.

五、总结

“ 对点法 ”，需要分三种情况，得出三个方程组求解，动点越多，优越性越突出！

从“几何” 的角度解决问题的方法，能够使问题直观呈现，问题较简单时，优越性较突出！

“数无形时不直观，形无数时难入微”，数形结合是一种好的解决问题的方法！